四元数使物体始终保持竖直向上

在Unity中利用刚体RigidBody使物体运动是非常容易的事，但是有时有时不希望物体倒下，这就要复杂一些，因为Unity使用四元数Quaternion来表示旋转。

但其实四元数也不算难

先上代码，将这段代码放在Update()函数中

var dst_quaternion = transform.rotation;
var angle = Mathf.Acos(dst_quaternion.w);//arccos
if(dst_quaternion.y < 0)
{
    angle = -angle;
}
var sin_value = Mathf.Sin(angle);
dst_quaternion.z = 0;
dst_quaternion.y = sin_value;
dst_quaternion.x = 0;

transform.rotation=dst_quaternion;//apply the transform

解释

四元数的一种几何解释是如果物体围绕一个轴 $(a_x,a_y,a_z)$ 旋转 $\theta$ ,那么四元数为

$$\{x,y,z,w\}=\{a_x\cdot \sin (\frac{\theta}{2}),a_y\cdot \sin (\frac{\theta}{2}),a_y\cdot \sin (\frac{\theta}{2}),\cos (\frac{\theta}{2})\}$$

将 $\frac{\theta}{2}$ 看做一个整体为 $angle$ ,又因为一开始物体是正的，相应旋转轴为 $(0,1,0)$ ^注且Unity中的角度 $\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ ,而 $\{y|y=arccos(x),x \in [-1，1]\} = [0,\pi]$

$$angle=\left\{ \begin{array}{l} \arccos(w)& {\theta \geq 0\ Also\ y \geq 0}\\ - \arccos(w)& {\theta \leq 0\ Also\ y \leq 0} \end{array} \right.$$

为使旋转轴始终为$y$轴，那么

$$(a_x,a_y,a_z)=(0,1,0)$$

相应的四元数为

$$\{0,\sin (\frac{\theta}{2}),0,w\}=\{0,\sin (angle),0,w\}$$

进一步，设置一个插值可以让物体运动得更自然

transform.rotation = Quaternion.Lerp(transform.rotation,dst_quaternion,Time.deltaTime*4);

注:其实初始时四元数为$\{0,0,0,1\}$，这时这种几何解释是有问题的，但经过这个变换后答案仍然正确

参考资料

四元数与三维旋转

Microsoft Docs