小结不定积分

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总体思路

• 换元法1
  • 应当注意整体: $d(\sin^2x)=2\sin x\ d\sin x=2\sin x \cos x \ dx$
• 换元法2
  • 万能代换(三角函数->有理函数)$u=\tan \frac{x}{2}:\sin x=\frac{2u}{1+u^2},\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2},dx=\frac{2du}{1+u^2}$
• 分部积分法
  • 若有三角函数，注意能否轮回
• 拆乘积为加减，分开求积分
  1. $\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$
  2. $\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})$
  3. $\frac{t^3}{t+1}=\frac{t^3+1-1}{t+1}=\frac{(t+1)(t^2-t+1)-1}{t+1}=t^2-t+1-\frac{1}{t+1}$
• 简化分母，减少分母项数
  1. $\frac{1}{1-\cos{x}}=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}$
• 有理函数的积分通式

负幂

$eg.$

对称

三角函数的转换

$\sec^2x-\tan^2x=1$

$\sin^2x+\cos^2=1$

三角代换

将普通变量用三角函数换元，规则见三角函数的转换

含相关变化量的积分

$eg. F(x,y)=0,求 \int f(x,y)dx$

1. 特殊：将做不了的积分消除
2. 特殊：找出$x,y$之间的显函数
3. 一般：使用参数方程

有理函数积分通式

任意有理函数可以表示为

$$f(x)=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0}{b_nx^m+b_{n-1}x^{m-1}+...+b_0}$$

有理函数可以分为两大类

• 假分式($n \geq m$)
  • 而假分式可以转化为：多项式+真分式
• 真分式($n<m$)

因此，仅需解决真分式的积分

1. 分母因式分解(可能是复数)

2. 分式和差分拆(使用待定系数法求系数)

3. 可得四类基本项：

   1. $\frac{c}{x-a}$
   2. $\frac{c}{(x-a)^k}=c(x-a)^{-k}$
   3. $\frac{bx+c}{x^2+px+q}$
   4. $\frac{bx+c}{(x^2+px+q)^k}$

需要稍微记忆的积分

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\ln (\sqrt{x^2+1}-x)$$

例题

$$\begin{aligned} &1)求该不定积分\int \frac{1}{(2+\cos x)\sin x}dx \\ &=\int \frac{\sin x}{(2+\cos x)\sin^2 x}dx \\ &=-\int \frac{1}{(2+\cos x)(1-\cos^2 x)}d\cos x \\ &=-\int \frac{1}{(2+t)(1-t)(1+t)} dt,令t=\cos x \\ &=-\int (-\frac{1}{3}\frac{1}{2+t}+\frac{1}{6}\frac{1}{1-t}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+t})dt,有理函数的积分,使用待定系数法 \\ &=\frac{1}{3}\ln (2+t)+\frac{1}{6} \ln(1-t)-\frac{1}{2}\ln(1+t) \\ &=\frac{1}{3}\ln({2+\cos x})+\frac{1}{6}\ln(1-\cos x)-\frac{1}{2}\ln(1+\cos x) \end{aligned}$$