突然想起一年多前，需要将手机空间姿态，同步到一个设备上，而这个设备只能水平旋转或者改变仰角

首先，先读取手机初始状态四元数，记为q0q_0,因为这个空间姿态的变化相对于手机来说是相对的，然后再读取每一时刻的四元数，记为qq,记相对初始状态的相对四元数为q1q_1，根据四元数旋转的复合，那么有

q=q0q1即q1=q0−1q\begin{aligned} q&=q_0q_1\\ 即q_1&=q_0^{-1}q \end{aligned}

那么到此，我们已经得到了相对四元数q1q_1。

为了获得使手机的朝向，根据下图，我们可以构造一个3D向量(0,1,0)(0,1,0)，代表手机指向的方向，记为p0p_0

手机局部坐标系

将q1q_1旋转作用于p0p_0，可得

p1=q1p0q1−1p_1=q_1p_0q_1^{-1}

显然，p1p_1的坐标即代表着手机朝向，将其记为(x,y,z)(x,y,z)

如图所示

记与xx轴的夹角为α∈(−π,π]\alpha \in(-\pi,\pi],与yy轴的夹角为β∈[−π2,π2]\beta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，可得

cos⁡α=xx2+y2tan⁡β=zx2+y2\begin{aligned} \cos \alpha&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \tan \beta &=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{aligned}

易得

α={arccos⁡xx2+y2y≥0−arccos⁡xx2+y2y<0\alpha =\left\{ \begin{array}{l} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&{y \geq 0}\\ -\arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&{y<0} \end{array} \right.

β={∣arctan⁡zx2+y2∣z≥0−∣arctan⁡zx2+y2∣z<0\beta =\left\{ \begin{array}{l} |\arctan \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}|&{z \geq 0}\\ -|\arctan \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}|&{z<0} \end{array} \right.

注：上文出现的三维向量与纯四元数的转换均为隐式转换，即(a,b,c)={0,a,b,c}(a,b,c)=\{0,a,b,c\}

代码实现
注意：代码实现中的变量命名与上文不相同,水平旋转角的参考系也有些差别

参考资料

四元数与三维旋转

Microsoft Docs