注：这是我的数学期末报告，发这里算了

课本的不严谨

正如何老师所言，课本上的定积分中值定理是不严谨的。

课本上的定理描述如下：

对于在[min⁡(a,b),max⁡(a,b)]上的连续函数f(x)有∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a),ξ∈[min⁡(a,b),max⁡(a,b)]\begin{aligned} &对于在 [\min(a,b) ,\max(a,b)]上的连续函数f(x)\\ &有\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a),\xi \in [\min(a,b) ,\max(a,b)] \end{aligned}

上述定理中的ξ\xi并不能称作中值，因为它取到了边界值。若要将其称作中值，应当将其范围限制在开区间(min⁡(a,b),max⁡(a,b))(\min(a,b) ,\max(a,b))内，如下所示：

∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a),ξ∈(min⁡(a,b),max⁡(a,b))\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a),\xi \in (\min(a,b) ,\max(a,b))

证明

首先是思路，要证明上述定理首先会想到的是LagrangeLagrange中值定理,因为这两个定理有着高度的相似性，再仔细分析，不难发现其实定积分中值定理就是升了一维的LagrangeLagrange中值定理，也就是将微分中值定理上升到积分中值定理，于是可以很容易地写出下列证明：

不妨记a<b对于在[a,b]上的连续，(a,b)上可导，且导函数依然连续的函数f(x)由Lagrange中值定理知:∃ ξ∈(a,b):f′(ξ)(b−a)=f(b)−f(a)记g(x)=f′(x)不难发现对于任意连续函数g(x)，这样的f(x)一定存在那么有:∃ ξ∈(a,b):g(ξ)(b−a)=f(b)−f(a)又因为由Newton−Leibniz公式有f(b)−f(a)=∫abf′(x)dx=∫abg(x)dx因此,∃ ξ∈(a,b):g(ξ)(b−a)=∫abg(x)dx\begin{aligned} &不妨记a<b\\ &对于在[a,b]上的连续，(a,b)上可导，且导函数依然连续的函数f(x)\\ &由Lagrange中值定理知:\\ \\ &\qquad \exists \ \xi \in (a,b):f'(\xi)(b-a)=f(b)-f(a)\\\\ &记g(x)=f'(x)\\ &不难发现对于任意连续函数g(x)，这样的f(x)一定存在\\ &那么有:\exists \ \xi \in (a,b):g(\xi)(b-a)=f(b)-f(a)\\ &又因为由Newton-Leibniz公式有\\\\ &\qquad f(b)-f(a)=\int_a^b f'(x)dx=\int_a^b g(x)dx\\\\ &因此,\exists \ \xi \in (a,b):g(\xi)(b-a)=\int_a^b g(x)dx \end{aligned}

意义

对于这个定理

∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a),ξ∈(min⁡(a,b),max⁡(a,b))\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a),\xi \in (\min(a,b) ,\max(a,b))

左边是一个曲边梯形的面积，右边是一个矩形的面积，可以将f(ξ)f(\xi)看做f(x)f(x)在(a,b)(a,b)上的平均值。

因此，f(ξ)f(\xi)也被称作积分平均值，其实在中学物理中已经涉及到了，如交流电的有效值

\begin{aligned} &记某交流电电路的电流表达式为\\ &\qquad I(t)=I_0\sin(\omega t+\varphi)\\ &那么，在一个周期(T=\frac{2\pi}{\omega})内有如下关系\\ &\qquad \int_0^T I^2(t)dt=I_{有效}^2(T-0) \\ &化简如下\\ &{ \begin{aligned} &\int_0^T I^2(t)dt\\ &=\int_0^T I_0^2\sin^2(\omega t+\varphi) dt \\ &=\int_0^T \frac{1}{2} I_0^2[1-\cos(2\omega t+2\varphi)] dt \\ &=[\frac{1}{2}I_0^2(t-\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t+2\varphi))]_0^T\\ &=\frac{I_0^2\pi}{\omega} \end{aligned}\\ }\\ &因此，I_{有效}=\frac{I_0}{\sqrt{2}}\\ \end{aligned}

应用

与LagrangeLagrange中值定理类似，定积分中值定理也能用来解决一些带有积分的极限问题

求lim⁡n→∞∫01xn2+x2dx解：由改良的定积分中值定理有∃ ξ∈(0,1):lim⁡n→∞ξn2+ξ2=lim⁡n→∞∫01xn2+x2dx显然lim⁡n→∞ξn2+ξ2=0因此lim⁡n→∞∫01xn2+x2dx=0\begin{aligned} &求\lim_{n \to \infty}\int_0^1\frac{x^n}{2+x^2}dx\\ &解：\\ &\qquad{ \begin{aligned} &由改良的定积分中值定理有\\ & \exists \ \xi \in (0,1):\lim_{n \to \infty}\frac{\xi^n}{2+\xi^2}=\lim_{n \to \infty}\int_0^1\frac{x^n}{2+x^2}dx \\ &显然\lim_{n \to \infty}\frac{\xi^n}{2+\xi^2}=0\\ &因此\lim_{n \to \infty}\int_0^1\frac{x^n}{2+x^2}dx=0 \end{aligned} }\\ \end{aligned}

推广

定积分中值定理还有一种推广形式

若f,g∈c[a,b]，且g(x)在[a,b]上不变号那么∃ξ∈(a,b):∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx\begin{aligned} &若f,g\in c[a,b]，且g(x)在[a,b]上不变号\\ &那么\exists \xi \in (a,b):\int_a^b f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^b g(x)dx \end{aligned}

这个定理的证明也简单，和上文类似，可以参考CauchyCauchy定理

对于某区间[a,b]内，有F(x)=∫axf(t)g(t)dtG(x)=∫axg(t)dt显然，这两个函数在[a,b]上连续，(a,b)上可导对其应用Cauchy定理，有F′(ξ)G′(ξ)=F(b)−F(a)G(b)−G(a)=F(b)G(a),ξ∈(a,b)f(ξ)=∫abf(t)g(t)dt∫abg(t)dt,ξ∈(a,b)因为g(x)在[a,b]上不变号，所以G(x)≠0因此∃ξ∈(a,b):∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx\begin{aligned} &对于某区间[a,b]内，有\\ &F(x)=\int_a^x f(t)g(t)dt \qquad G(x)=\int_a^x g(t)dt\\ &显然，这两个函数在[a,b]上连续，(a,b)上可导\\ &对其应用Cauchy定理，有\\ &\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F(b)}{G(a)},\xi \in (a,b)\\ &f(\xi)=\frac{\int_a^b f(t)g(t)dt}{\int_a^b g(t)dt},\xi \in (a,b)\\ &因为g(x)在[a,b]上不变号，所以 G(x) \ne0\\ &因此\\ &\exists \xi \in (a,b):\int_a^b f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^b g(x)dx \end{aligned}