立体空间

拉格朗日数乘法

求f(x,y,z)f(x,y,z)在g(x,y,z)=0g(x,y,z)=0条件下的最值

构建函数

L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)

令{∂L∂x=0∂L∂y=0∂L∂z=0∂L∂λ=g(x,y,z)=0令\left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\\ &\frac{\partial L}{\partial y}=0\\\\ &\frac{\partial L}{\partial z}=0\\\\ &\frac{\partial L}{\partial \lambda}=g(x,y,z)=0\\ \end{aligned} \right.

量

法向量

f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0在某点的法向量如下

n⃗=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\vec{n}=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})

切向量

f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0在某点的切向量如下

法一

考虑{x=x(t)y=y(t)z=z(t)考虑\left\{ \begin{aligned} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{aligned} \right.

那么切向量m⃗=(∂x∂t,∂y∂t,∂z∂t)那么切向量\vec{m}=( \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial t}, \frac{\partial z}{\partial t})

这种解释很直观，但是这个表达式不易求得。

法二

观察f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0，对两边同时微分，
注意到

LHS=d f=∂f∂xdx+∂f∂ydy+∂f∂zdz=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)⋅(dx,dy,dz)=RHS=d0=0\begin{aligned} LHS=d\ f&=\frac{\partial f}{\partial x} dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz\\ &=(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) \cdot(dx,dy,dz)\\ &=RHS=d0=0 \end{aligned}

不难发现

(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)⋅(dx,dy,dz)=0(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) \cdot(dx,dy,dz)=0

因此切向量m⃗=(dx,dy,dz)\vec{m}=(dx,dy,dz)，而且我们还发现：切向量有无数条。

梯度与散度

  1. 梯度是向量，且与该处切线垂直
  2. 散度是标量

div f(x,y,z)=∂f∂x+∂f∂y+∂f∂zdiv\ f(x,y,z)= \frac{\partial f}{\partial x}+ \frac{\partial f}{\partial y}+ \frac{\partial f}{\partial z}

grad f(x,y,z)=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)grad\ f(x,y,z)= (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})

法向量&梯度

看起来法向量和梯度的表达式相同，但实际上这两个量的含义差别很大，或者说法向量是梯度的特例。

上文中的梯度更像是对于一个四维空间(w,x,y,z)(w,x,y,z)中的函数w=f(x,y,z)w=f(x,y,z)而言的，表达了自变量如何变化能使因变量ww变化得最快，自变量变化的方向一定与该处垂直。

旋度

旋度的作用对象是一个向量

vector=(P,Q,R)//P,Q,R依赖于(x,y,z)vector=(P,Q,R)//P,Q,R依赖于(x,y,z)

rot vector=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣rot\ vector= \left|\begin{array}{cccc} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{array}\right|

质心

对于x轴有，其他轴同理

xˉM=xˉ∫abmdx=∫abxmdx\bar x M=\bar x \int_a^b m dx=\int_a^b x m dx

其中m指代在x处的截面或截线

积分

常用的积分变换公式

格林公式

闭曲线⇔\Leftrightarrow曲线围成的曲面

格林公式提供了一座桥梁，使得闭曲线L积分与该曲线围成的曲面D的积分有了关系。这个关系存在于二维平面。

∮LPdx+Qdy=∬D∂Q∂x−∂P∂ydσ\oint_L Pdx+Qdy=\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d \sigma

高斯公式

闭曲面⇔\Leftrightarrow曲面围成的空间

高斯公式像是升了一维的格林公式，提供了闭曲面积分与闭曲面围成的空间的积分有了关系

\oiint∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭V∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂zdv\oiint_{\sum}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint_V \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}dv

斯托克斯公式

闭曲线⇔\Leftrightarrow曲线围成的面积

斯托克斯公式像是增加了一个维度的格林公式

∮LPdx+Qdy+Rdz=∬D∣dydzdxdzdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=\iint_D \left|\begin{array}{cccc} dydz & dxdz & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{array}\right|

重积分的技巧

转换坐标系

极坐标（柱面坐标）

∬Df(x,y)dxdy=∫θ0θ1dθ∫m（θ）n(θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρ\iint_D f(x,y)dxdy=\int_{\theta_0}^{\theta_1}d\theta \int_{m（\theta）}^{n(\theta)}f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta)\rho d\rho

其中

{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θ⇒x2+y2=ρ2\left\{ \begin{aligned} x&=\rho \cos \theta\\ y&=\rho \sin \theta\\ \end{aligned} \right. \Rightarrow x^2+y^2=\rho^2

球面坐标

∭Ωf(x,y,z)dv=∫φ0φ1dφ∫θ0θ1dθ∫r0r1f(rsin⁡φcos⁡θ,rsin⁡φsin⁡θ,rcos⁡φ)r2sin⁡φdr\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}d\varphi \int_{\theta_0}^{\theta_1}d\theta\int_{r_0}^{r_1}f(r\sin \varphi \cos \theta,r\sin \varphi \sin \theta,r \cos \varphi)r^2\sin \varphi dr

其中，

{x=rsin⁡φcos⁡θy=rsin⁡φsin⁡θz=rcos⁡φ⇒x2+y2+z2=r2\left\{ \begin{aligned} &x=r\sin \varphi \cos \theta\\ &y=r\sin \varphi \sin \theta\\ &z=r \cos \varphi \end{aligned} \right. \Rightarrow x^2+y^2+z^2=r^2

改变积分顺序

有些积分如下

∫0bdx∫n(x)1f(x,y)dy\int_0^b dx\int_{n(x)}^{1} f(x,y)dy

但这样直接积分是非常困难的先对x进行积分，我们可以改变积分的顺序，如下

∫01dy∫0n−1(y)f(x,y)dx\int_0^{1} dy \int _0^{n^{-1}(y)}f(x,y)dx

割补法

对于二、三重积分，当积分区间过于抽象，可以使用割补的方式将抽象的区间转换成两个容易积分的区间（转化为其他坐标系）

使用积分公式进行转换

  1. 斯托克斯公式
  2. 高斯公式
  3. 格林公式

对称性

在大多数情况下，利用好对称性能在很大程度上减小积分的难度。

轮换对称性

在某些区间内，某些变量是对称的,换句话来说，就是在这个时候，变量是等效的，可以互换的。

镜像对称性

eg.D:x2+y2=r2∬Dxydxdy=0\begin{aligned} eg.\qquad D:x^2+y^2=r^2 \qquad \iint_D xy dxdy=0\\ \end{aligned}

例题分析

1

设L为x2+y2+z2=4与x=y的交线，则∮L(2y2+z2)ds=?设L为x^2+y^2+z^2=4与x=y的交线，则\oint_L(2y^2+z^2)ds=?

解：x=y⇒x2=y2I=∮L(2y2+z2)ds=∮L(x2+y2+z2)ds=∮L4ds也就是说，I=L的长度∗4=16π\begin{aligned} 解：& x=y \Rightarrow x^2=y^2\\ &\begin{aligned} I&=\oint_L(2y^2+z^2)ds\\ & =\oint_L(x^2+y^2+z^2)ds\\ &=\oint_L 4ds\\ \end{aligned} &也就是说，I=L的长度*4=16\pi \end{aligned}

这就是轮换对称性的应用(x与y等价)

2

设Σ由锥面z=x2+y2和上半球面z=4−x2−y2组成，方向为外侧，计算曲线积分∬∑cos⁡(y2+z)dydz+(sx2y+y3)dzdx+(xy+z3)dxdy\begin{aligned} & 设\Sigma 由锥面 z=\sqrt{x^2+y^2}和上半球面z=\sqrt{4-x^2-y^2}组成， 方向为外侧， \\ &计算曲线积分\iint_{\sum} \cos (y^2+z)dydz+ (sx^2y+y^3)dzdx+(xy+z^3)dxdy \end{aligned}

解：I=∭Ω(3x2+3y2+3z2)dv(高斯公式)=3∫02πdθ∫0π4dφ∫02r2r2sin⁡φdr（变换积分坐标系）=96π5(2−2)\begin{aligned} 解： I&=\iiint_{\Omega}(3x^2+3y^2+3z^2)dv(高斯公式)\\ &=3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\varphi\int_0^2 r^2r^2\sin \varphi dr（变换积分坐标系）\\ &=\frac{96\pi}{5}(2-\sqrt{2}) \end{aligned}