概统公理化基础知识

公理

若Ω是一个试验的样本空间，Ω={Ai∣i∈[1,n]}，有若\Omega 是一个试验的样本空间，\Omega=\{A_i|i\in[1,n]\} ，有

  • 非负性：P(Ai)>0P(A_i)>0
  • 规范性：P(Ω)=1P(\Omega)=1
  • 可加性：若{Ai}\{A_i\}相互排斥，那么有

P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i)=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)

推导性质

空集概率为零

P(∅)=0P(\empty)=0

有限可加性

P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)，当{Ai}相互排斥P(\bigcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)，当\{A_i\}相互排斥

对立事件公式

P(A)=1−P(Aˉ)P(A)=1-P(\bar{A})

事件概率范围

P(A)≤1P(A) \leq 1

减法公式

P(A−B)=P(ABˉ)=P(A)−P(AB)P(A-B)=P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)

加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)\begin{aligned} P(A+B+C)=&P(A)+P(B)+P(C)\\ -&P(AB)-P(BC)-P(AC)\\ +&P(ABC) \end{aligned}