参数估计

结论

矩估计的参数具有传递性/极大似然不具有

正态分布极大似然估计

总体方差$\sigma^{2}$的极大似然估计量为$\hat{\sigma^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\mu)^2$

正态分布的置信区间

$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$服从正态分布，且$\overline{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$

正态分布均值的置信区间（方差已知）

$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，经过标准化后，$Z$就服从标准正态分布$N(0,1)$

也就是说$-z_{1-\alpha/2}=z_{\alpha/2}\leq Z\leq z_{1-\alpha/2}=-z_{\alpha/2}$

$$(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$$

正态分布方差的置信区间（均值已知）

我们构造一个统计量$\chi^{2} = \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2$，该统计量服从自由度为$n$的$\chi^{2}$分布，即$\chi^{2} \sim \chi^{2}(n)$。

由$\chi_{1 - \alpha / 2}^{2}(n) \leq \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2 \leq \chi_{\alpha / 2}^{2}(n)$，可得：

$$\frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\chi_{\alpha / 2}^{2}(n)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_i - \mu)^2}{\chi_{1 - \alpha / 2}^{2}(n)}$$

正态分布的置信区间（均值和方差都未知）

对于均值构
我们构造统计量$T = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$，该统计量服从自由度为$n - 1$的$t$分布，即$T \sim t(n - 1)$。

由$-t_{\alpha / 2}(n - 1) \leq \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \leq t_{\alpha / 2}(n - 1)$，可得：

$$\overline{X} - t_{\alpha / 2}(n - 1) \frac{S}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq \overline{X} + t_{\alpha / 2}(n - 1) \frac{S}{\sqrt{n}}$$

对于方差我们构造统计量$\chi^{2} = \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}$，该统计量服从自由度为$n - 1$的$\chi^{2}$分布，即$\chi^{2} \sim \chi^{2}(n - 1)$。

由$\chi_{1 - \alpha / 2}^{2}(n - 1) \leq \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} \leq \chi_{\alpha / 2}^{2}(n - 1)$可得：

$$\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{\alpha / 2}^{2}(n - 1)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{1 - \alpha / 2}^{2}(n - 1)}$$