正态分布

对于$x\sim N(\mu,\sigma^2)$，其概率密度函数为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

二维正态分布

对于$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,r)$其密度函数为：

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-r^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-r^2)} \left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2r\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right]\right\}$$

有如下结论：

若$Z=aX+bY$，则$Z\sim N(E(Z),D(Z))$。不要求$X,Y$独立。

例题

Let $X\sim N(0,1)$, and under the condition $X = x$, $Y\sim N(x,4)$. Then the variance of $Y$ is $\underline{\quad}$.

$$\begin{aligned} \text{Solve:}\\ &\text{First, calculate }E(Y)=E_X(E_Y(Y|X))=E(X)=0\\ &\text{note: we view $X$ in E(Y|X) as a constant, and get a expression dependent on $X$}\\ &\text{Then, calculate }E(Y^2)\\ &\qquad =E_X(E_Y(Y^2|X))\\ &\qquad =E_X(D_Y(Y^2|X)+E_Y^2(Y|X))\\ &\qquad =E_X(4+X^2)\\ &\qquad =4+E_X(X^2)\\ &\qquad =4+D_X(X)+E_X^2(X)\\ &\qquad =5\\ &\text{Therefore, }D(Y)=E(Y^2)-E^2(Y)=5-0=5 \end{aligned}$$

*结论：全方差公式

$$D(Y)=E[D(Y∣X)]+D(E[Y∣X])$$